Принцип Дирихле: математика доказала, что вы не так уникальны, как думаете

Волосатость — идеальный способ продемонстрировать математику, лежащую в основе «принципа Дирихле», впервые сформулированного в 1622 году.

Можно ли найти двух людей с одинаковым количеством волос на голове? Ответ – уверенное «да», и это можно доказать даже без статистического анализа. Для этого достаточно «принципа ящиков», также известного как «принцип Дирихле»

Этот принцип, на первый взгляд, выглядит невероятно простым: если разделить n объектов на k ящиков, и объектов больше, чем ящиков (n > k), то несколько объектов обязательно окажутся в одном ящике. Это утверждение, кажущееся здравым смыслом, впервые упомянул французский ученый Жан Лёрешон в 1622 году. Однако, как это часто бывает, закон Стиглера — согласно которому научные открытия редко называются в честь их истинных авторов — применим и здесь. Принцип ящиков обычно приписывается Петеру Густаву Лежену Дирихле , который жил на 200 лет позже Лёрешона.

Но вернёмся к вопросу о волосах: как определить, что два человека в мире имеют одинаковое количество волос на голове? Сначала нужно определить максимальное количество волос у людей. В среднем у человека от 90,000 до 150,000 волос , и можно с уверенностью сказать, что это количество не превышает миллиона. Население планеты составляет восемь миллиардов, и это означает, что обязательно найдутся люди с одинаковым количеством волос, пока один из них не расчешется и не потеряет несколько волос. Но, спустя несколько движений расчёски, вероятно, образуется новая группа людей с таким же количеством волос.

Можно даже оценить минимальное количество людей с одинаковым числом волос. Для этого рассмотрим два крайних случая: когда у всех одинаковое количество волос (например, если все побреются налысо) и когда количество волос максимально разнообразно.

Представьте себе миллион пронумерованных комнат, куда каждый человек заходит в комнату с номером, соответствующим количеству волос на его голове. Если все на Земле одинаково волосаты, все окажутся в одной комнате. Тогда восемь миллиардов людей будут в одной комнате, а остальные 999,999 комнат останутся пустыми.

Теперь представим противоположный случай, когда люди распределены так, чтобы в одной комнате оказалось как можно меньше человек. Если восемь миллиардов человек равномерно распределить по миллиону комнат, в каждой комнате будет 8,000 человек. Однако при любой перераспределённости, одна из комнат непременно будет содержать больше 8,000 человек, что подтверждает: на планете минимум 8,000 человек имеют одинаковое количество волос.

Таким образом, можно показать усиленную версию принципа ящиков: если n объектов распределены по k категориям и n > k, то как минимум n / k объектов окажется в одной категории. Если распределить объекты равномерно, в среднем в одной категории окажется n / k объектов, и при малейшей неоднородности одна из категорий обязательно будет содержать больше n / k объектов. Если результат деления нецелый, минимальное значение соответствует округленному вверх.

Например, если в футбольном матче забили семь голов, одна команда забила минимум четыре гола (7 / 2, округлённое вверх). Или возьмём более крупные числа: минимум 23,000 жителей Нью-Йорка родились в один день. В городе проживает около 8,5 миллиона человек, и при делении на 366 дней 8,500,000 / 366 = 23,000 человек делят один день рождения.

Интересные и не всегда значительные выводы могут быть сделаны с помощью принципа ящиков. Например, в распределении точек на сфере: выбрав пять случайных точек, можно утверждать, что по крайней мере четыре из них окажутся в одном полушарии. Выбрав две точки для проведения экватора, сфера делится на два полушария, куда попадают оставшиеся три точки. По принципу ящиков, как минимум две из них окажутся в одном полушарии. Если добавить точки на экваторе, то на одной половине сферы всегда будет минимум четыре точки.

Принцип ящиков иллюстрирует, что даже очевидные утверждения могут иметь большое значение в математике. И это неудивительно, ведь математическая работа основывается на базовых допущениях, таких как существование пустого множества, откуда могут быть выведены столь сложные результаты, как теоремы Гёделя о неполноте . Простые системы могут приводить к сложным последствиям.